Un segmento circular es la porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Segmento circular
Segmento circular limitado por la cuerda [latex] AB. [/latex]
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Vamos

Área de un segmento circular

Triángulo correspondiente al segmento circular
Triángulo correspondiente al segmento circular.

Para calcular el área de un segmento circular construimos el triángulo .  Luego se tiene la siguiente ralación:

 

Ejemplos de cálculo del área de un segmento circular

Ahora aplicaremos la relación (1) para calcular lo siguiente:

1.Sobre un círculo de de radio se traza un ángulo central de . Calcular el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une a los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

Solución:

Primero, es conveniente bosquejar la región de la cual queremos conocer su área.

Área de un segmento circular
Representación geométrica del problema.

El área en verde es la deseada. Nótese que, el triángulo es un triángulo equilátero donde la longitud de sus lados es de

Triángulo equilátero
Triángulo equilátero resultante del segmento circular.

Luego, si denota el punto medio del segmento , entonces el segmento mide . Así, usando el Teorema de Pitágoras, podemos calcular la altura del triángulo

Entonces se tiene que

Además, usando la fórmula para el área de un sector circular obtenemos que

donde denota el ángulo de abertura del sector.

Por lo tanto, siguiendo (1) tenemos que

Esto es,

 

2.Hallar el área de la parte sombreada, siendo , un cuadrado, y arcos de circunferencia de centros en y .

Solución:

La siguiente figura describe gráficamente el problema planteado.

Dos segmentos circulares
Representación gráfica del problema.

La parte sombreada es el área que queremos calcular. Observe que, el área sombreada se compone de dos segmentos circulares idénticos. Luego, solo hace falta calcular el área de uno de ellos y después multiplicar el resultado por dos.

Segmento circular inscrito en un cuadradoSegmento circular inscrito en un cuadrado

Siguiendo (1), debemos calcular el área del sector circular y el área del triángulo rectángulo .

Como el ángulo de abertura del sector circular es de , utilizando nuevamente la fórmula para el área de un sector circular obtenemos que

Ahora, el área del triángulo rectángulo es

Por lo tanto, siguiendo (1), tenemos que

Y entonces

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗